ელიფსური ტიპის დიფერენციალური განტოლებები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ მათემატიკური ფიზიკის, მექანიკის, თბოგადაცემის, ელექტროდინამიკის, ჰიდროდინამიკისა და მრავალი საინჟინრო ამოცანის მოდელირებაში. ბოლო პერიოდში დიდი ყურადღება ექცევა არალოკალური სასაზღვრო პირობებისა და საკონტაქტო ამოცანების კვლევას. კლასიკური სასაზღვრო ამოცანებისაგან განსხვავებით, არალოკალური ამოცანები შეიცავს ისეთ პირობებს, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა დამოკიდებულია არა მხოლოდ საზღვრის ერთ წერტილზე, არამედ მთელ მონაკვეთზე ან რამდენიმე წერტილის კომბინაციაზე.
საკონტაქტო ამოცანები ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც კვლევის არე დაყოფილია რამდენიმე ქვეარედ და ამ ქვეარეებს შორის არსებობს შეხების (კონტაქტის) პირობები. ასეთი ამოცანები განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია კომპოზიციური მასალების თეორიაში, თბოგამტარობის ამოცანებში, მრავალშრიანი კონსტრუქციების მოდელირებაში, ნავთობისა და გაზის ფილტრაციის პროცესებში, აგრეთვე ელექტროსტატიკურ და მექანიკურ მოდელებში.
არალოკალური საკონტაქტო ამოცანების ანალიზი საკმაოდ რთულია როგორც თეორიული, ისე რიცხვითი თვალსაზრისით. ხშირ შემთხვევაში ანალიტიკური ამოხსნა შეუძლებელია, ამიტომ გამოიყენება რიცხვითი მეთოდები.
სემინარზე განვიხილავთ ელიფსური განტოლებებისათვის არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანების შესწავლის ალგორითმს, რომელიც ეფუძნება არალოკალური სასაზღვრო ამოცანების დირიხლეს ამოცანების მიმდევრობაზე დაყვანას. აღნიშნული მეთოდიკა საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ შევისწავლოთ არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანების ამონახსნის არსებობისა და ერთადერთობის საკითხები, არამედ რიცხვითადაც ამოვხსნათ ეს ამოცანები.
ელიფსური განტოლებებისათვის დირიხლეს სასაზღვრო ამოცანების რიცხვითი ამონახსნების საპოვნელად ერთ-ერთ ეფექტურ საშუალებას წარმოადგენს კომპიუტერული მათემატიკური სისტემა Mathcad. ამ ტიპის ამოცანების ამოხსნისათვის Mathcad-ში შექმნილია ახალი ფუნქციები, რომლებიც უზრუნველყოფს არალოკალური საკონტაქტო სასაზღვრო ამოცანის მიახლოებითი ამონახსნის პოვნას. აღნიშნულ ალგორითმში იტერაციის თითოეულ ეტაპზე დირიხლეს სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნა შესაძლებელია სტანდარტული ფუნქციების გამოყენებით.
დირიხლეს სასაზღვრო ამოცანის რიცხვითი მეთოდებით ამოსახსნელად შესაძლებელია სხვადასხვა დისკრეტიზაციის მეთოდის გამოყენება, როგორიცაა სასრული ელემენტების, სასრული სხვაობებისა და სასაზღვრო ელემენტების მეთოდები. აღნიშნული მეთოდები გამოიყენება შემოთავაზებული ამოცანების მიახლოებითი ამოხსნისათვის. მიღებული რიცხვითი შედეგები ემთხვევა თეორიულ შედეგებს, ხოლო წარმოდგენილი მეთოდი წარმატებით შეიძლება გავრცელდეს სხვა ტიპის ამოცანებზეც.
| უკან |
